女神降临梦境

    云泽省的数学竞赛队伍在老孟的带领下开始返航。
    路上遇到了一群来自其他省的选手们。
    “呜呜呜，郭老师，我不配去清北……”
    “老郭你说得对，我只配上江城这种二流的垃圾学校，我回去就改志愿。”
    ……
    这似曾相识的对话。
    怎么说好呢？
    只能说，博苏克-乌拉姆定理表明，任何一个、嗯，任何一个从n维球面到欧几里得n维空间的连续函数，都一定把某一对对蹠点映射到同一个点……
    这个映射定理应用到人生也是一样的啊！
    伊诚在内心发出一声感叹。
    换句话说，幸福的人生各有各的幸福。
    不幸的人生总是相似。
    ……
    回到酒店之后，孟老师根据选手们的回忆，记录题目，并且为大家进行复盘。
    ……
    第二天，二试开始。
    从8点半到12点半。
    时间依旧是4个半小时。
    每题依然是21分。
    考场内纸笔沙沙作响。
    就像是下雨一样。
    只不过这种润物细无声式的安静，比真实的战场更加可怕。
    在伊诚这个考场内，40个顶尖的大脑进入了心流模式。
    第一题送分题：
    证明：当素数a大于等于7时，a^4-1能被240整除。
    题目非常简单。
    是个参加奥数比赛的学生都会。
    一般情况下都会照顾选手们的自尊，所以题目不会出得太难。
    这题确实是送分题。
    整除相关的数论理论就那么多。
    伊诚只瞟了一眼就知道这题该用费马小定理。
    其他人不可能不知道。
    伊诚不指望靠它拉分，只希望后面两道题能难一些。
    最起码不要低于昨天切蛋糕的水准。
    费马这个人举世闻名，因为他在读丢番图这本书的时候，在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”
    这就是非常有名的费马大定理，从1637年开始，一直到1986年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯完成了最后的证明。
    也因为费马皮了那么一下，之后出版的数学书后面都会留出一页空白，防止别人有借口说写不下。
    费马是一个改变了数学史和数学教材制作的人。
    但是，很多人其实不怎么熟悉费马小定理。
    或者说不是从事数学专业的人很少听说过费马小定理。
    这个东西是跟欧拉定理、中国的孙子定理和威尔逊定理一起并成为数论四大定理的可怕存在。
    所以，费马小定理讲述了一个什么事情呢？
    它说：
    如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod  p）
    ……
    那么这题的证明就非常简单了。
    伊诚不假思索，提笔写到——
    证：
    素数a大于等于7，a是奇数。
    又a^4-1=（a-1）（a+1）（a^2+1）
    且……
    通过费马小定理有：
    （3，a）=1
    （5，a）=1
    所以……
    最后得证：
    240|(a^4-1)
    ……
    花了10分钟的时间，伊诚证明完第一题，开始攻略第二题。
    这题有两问：
    【假设你生活在13世纪的罗马，你手上有10个整数克重的砝码和一个天平。
    现在国王要你让测量出他身上的一件东西。
    这件物品的重量在1到88克之间。
    1、你是否能做到？甚至少了任何一个砝码也能做到这一点？
    2、加入砝码数量增加到12个，其中可以有相同重量的砝码，用天平量出国王给你的一件物品。
    这件物品在1-59克之间。
    你是否能做到，甚至少了任何两个砝码也能做到这一点？】
    伊诚看完了题目，心中至少有4种不同的证明方式。
    但是这题有点奇怪的地方在于——
    它规定了时代背景。
    你生活在13世纪，并且是欧洲。
    这个时期的欧洲数学还比较落后，它刚从衰落阶段开始复苏。
    所以伊诚能用来证明题目的方法，也只能是这个时期以前的。
    他先尝试对题目进行拆解——
    取n个砝码，记第i个砝码的重量为Fi
    对于重量为w的物体，可以用n个砝码测出它的重量。
    当n=1时，F3=F2+F1=2
    于是，F3-1=1，w=1时，显然可以测出。
    然后再讨论n和n+1时的情况……
    通过归纳假设……
    可以得到第1问的证明。
    在这里，通过多次枚举之后，伊诚发现了一些规律——
    真是美丽的数字关系。
    如此美丽的数字关系，只有一种东西可以解释：
    斐波那契数列。
    斐波那契是13世纪初的数学家，运用它的理论不会违背这个时代背景的原则。
    所以，当发现规律为斐波那契数列之后，对于第2问就简单得多了。
    伊诚提笔写到——
    构造广义斐波那契数列：
    g(n)=g(n-1)+g(n-3)(n大于等于4）。
    g(1)=g(2)=g(3)=1.
    用归纳假设，可以说明对于这样的n个砝码，即使任意去掉其中的两个，仍然能称出重量1到g（n+1）-1的物体。
    而g（13）=60.
    所以第二问得证。
    可以找到满足题意的12个砝码称量1-59范围内的物体。
    答完题。
    伊诚闭上眼睛，细细地品味着。
    不得不说出题人真的很棒。
    至少他让人在这道题目中领略了什么是数学之美。
    不单单是因为斐波那契数列是黄金分割，本身就具有艺术美感。
    更关键的是，这题反应了从探索到猜想，再到证明的数学之美。
    啧啧。
    伊诚砸吧着嘴唇，在陶醉了一番后，继续攻克最后一道大题。
    现在时间才过去了三分之一。
    最后一题是一道证明题：
    设S为R^3中的抛物面z=（x^2+y^2）/2，P(a，b，c)为S外一固定点，满足a^2+b^2大于2C，过P点作S的所有切线。
    证明：这些切线的切点落在同一平面上。
    本来以为是压轴题，应该有点难度，但是伊诚稍加思索，发现这题并不难。
    在几何中，有一个非常厉害的王者咖喱棒。
    它就是向量。
    只要使用向量这把咖喱棒，就能把一切都斩于无形。
    伊诚略加思索，运用向量把题目证明完毕。
    完了以后，他发现了一个神奇的事情——
    这道题目不只是在二维平面上是可证的，甚至可以推广到二次曲面上。
    于是伊诚又用向量证明了二次曲面的推广命题。
    做完这些，伊诚在想，既然二次曲面也是可行的，那么有没有可能推广到3次？
    当他忘乎所以，在草稿纸上进行更高维度的推广时——
    考试时间结束了。
    按照竞赛的要求，考官会把考卷连同草稿纸一起密封进行考核。
    伊诚一脸茫然，对最后的步骤没有做完耿耿于怀。
    “这次不像你啊！”
    在赛场门口，李安若抱着双手嘲讽到。
    “你不是次次都是第一个交卷的吗？”