数学原理

  还有一个概念我认为在非证明的推理中有很大的用处，就是"结构"这个概念。如果你在一个方向看见红，在另一个方向看见蓝，你假定在一个方向所发生的事和另一个方向所发生的事有些不同，这样假定好象是合理的。因此，虽然我们不得不承认我们的色觉的外因本身不象我们的感觉那样是有颜色的，但是，你看一些颜色的花样的时候，在你的色觉的原因中，必是有类似的花样的。时－空的结构在一系列的因果连结的事件中常是一种不变的东西，或大致不变的东西，这个概念是很重要，很有用的。举一个很简单的例子，假定甲朗诵一本书，乙把甲所念的笔录下来，并且甲在书里所看见的和乙所写下来的都字字相同，否认以下所列的四组事情之间的因果连接是不合理的，就是，（１）书里所印的字，（２）甲朗诵时所发的声音，（３）乙所听到的声音，（４）乙所写下来的字。留声机器和所发出的音乐二者之间的关系也是如此。又如无线电广播，声音变为电磁波，电磁波又变成声音。若是在说的声音与听到的声音之间作为中介的电磁波没有与说的听到的字的时－空结构很近似的时－空结构，则说的声音与听到的声音彼此那样近似是不可能的。在自然界有无数复杂结构的例子，这些结构只要有内在性质上的变化，就由此结构移转到彼结构，其间有因果的关系，广播时声音和电磁波之间的变化就是内在性质上的变化。事实上，所有视觉和听觉都有这种移转结构的特性，但是没有内在的性质。
  对于近代逻辑不习惯的人难以设想我们对于时-空的结构能够有所知，而不知道构成结构的那些性质。这是知识更大一方面的一部分。我们若不陷于荒谬的怪论，我们就不得不承认，我们可以知道象"凡甲皆乙"或"有些甲为乙"这样的命题，而不能举出甲的任何实例来，例如，"凡我从来没有想到的数目或将来永不会想到的数目都是大于一千"。虽然这个命题是不容否认的，但是，如果我想举出一个实例来，我就自相矛盾了。纯物理世界里的时－空结构也是如此。在纯物理世界里，没有理由可以认为组成这个结构的性质有和感觉经验中我们所知道的性质有本质上的类似。
  使科学上的推理生效所不得不有的普遍原理是不能有平常所说的证明的。这些原理是用分析从个别的实例中蒸馏出来的，这些实例看来是极其明显的，象我方才所举的甲口授而乙笔录就是一个。从我所谓"动物的预期"起，等而上之，一直到量子物理学里的最精微的定律，其间是有一个逐渐的发展的。这整个进程的起点是经验到甲，然后预期有乙。一个动物闻到某种气味，预期食物是可吃的。如果它的预期通常是错误的，它就活不成了。进化和对于环境的适应使预期对的时候多，错的时候少，虽然预期不是逻辑上可以论证的。
  我们未尝不可以说，自然是有一些习惯的。如果动物要生存，动物的习惯就必须对于自然的习惯有某种适应。
  如果用这个论证反对笛卡尔式的怀疑论，这是一个拙劣的论证。但是，如果我们自怀疑论出发，我以为是不可能有什么结果的。凡看起来象是知识，而没有特殊理由加以否认的，都予以广泛的承认，我们必须以此为出发点。假设的怀疑论在逻辑的剖析上是有用处的。它使我们能够知道不用这一个前提或那一个前提可以得有什么结果，正如，举例来说，我们不用平行线原理可以探讨几何学在什么限度内是可以成立的。但是只有为达到这个目的，假设的怀疑论才是有用的。
  在解释非证明的推理中不能证明的前提在知识论上有什么确实功用以前，关于归纳法我们还有一些事情不能不讲一讲。
  我在前面说过，归纳推理不在非证明的推理中的前提之列。但是这并不是因为不用归纳推理，而是因为就所用的归纳推理的形式而论，归纳推理并不是不能证明的。凯恩斯在他的《论盖然性》一书中对于有没有可能从盖然性的数学学说中推究出归纳推理来，做了一个很精能的研究。他要研究的问题是：今有Ａｓ是Ｂｓ的若干例子，而没有相反的例子，如果Ａｓ是Ｂｓ的例子的数目继续增加下去，在什么情况下就有可能"一切Ａ都是Ｂ"这个概括可以接近确定不移这样一个极限呢？他所得到的结论是，这必须满足两个条件。其中第一个又是比较重要的条件是，在我们知道任何Ａｓ是Ｂｓ的例子以前，"一切Ａ都是Ｂ"这个概念必须在我们其余的知识的基础上有一个有限的盖然率。第二个条件是，如果这个概括是错误的，当推理的数目充分增加的时候，我们只看到有利的例子的盖然性应该趋向于零，成为一个极限。凯恩斯以为有以下的情形就可满足这第二个条件，就是如果有某种缺乏确定性的盖然性，姑且说是Ｐ，那么，假定概括出来的是伪的，并且已经知道ｎ－１个Ａｓ是Ｂｓ，则第ｎ个Ａ会是Ｂ的机会永远小于Ｐ，倘若ｎ足够大。
  这两个条件之中的第二个没有第一个重要，而且不方便的程度也小得多。就要专讲第一个条件。
  对于作出的某一个概括，在我们检验正或反的证据以前，我们怎么知道这个概括有一个有利的限定的盖然率呢？如果当我们知道这个概括有很多有利的例子，没有不利的例子的时候，凯恩斯的论证要给这个归纳以高度的盖然性，这是我们不能不知道的。我借分析非证明推理的例子所得到的假设是用来给某些概括以这种限定的先天的盖然性，而不是给别的概括以这种先天的盖然性的。要知道，为发生作用，这些假设不必一定是确定的，必须的只是要有一个限定的盖然性。
  在这一方面，这些假设和唯心的哲学家们所寻求的那种先天的原则大不相同，因为主张这种原则的人认为这些原则其确定性的程度比大部分经验上的知识要高。
  我最后得到的假设共有五个。这些假设怎样用公式来表明并不重要。我认为很可能这些假设的数目可以减少，而且可以更精确地表述出来。但是，虽然我不相信这些假设都是必要的，我确认它们是足够的。所不得不注意的是，这些假设只是表示盖然性，不表示确实性，而且只给予凯恩斯所需要的那种限定的前提的盖然性，使他的归纳推理有效。关于这些假设我已经初步地讲了一些。我现在把它们重述一遍，说得更确切、更明白一些。
  第一个假设我称之为"半永久性的假设"，在某种意义上，我认为这个假设可以代替牛顿的关于运动的第一条定律。常识之所以能运用"人"这个概念和"物"这个概念相当成功，乃是靠着这个假设。从前有一个很长的时期科学和哲学所以能够应用"实体"这个概念，也是靠着这个假设。这个假设的意思可以述之如下：
  如果有一事件Ａ，则在任何邻近的时间，在某邻近的地方常有与Ａ很相似的一个事件发生。
  常识就要认为这个很相似的事件是遭遇到Ａ事件的那个人或那件东西的历史的一部分。
  第二个假设是可分的因果线的假设。这也许是五个假设之中最重要的一个。这个假设使我们可以从部分的知识作出部分的有盖然性的一个推论来。我们相信，宇宙中的任何事物对于任何别的事物都有，或者可以有某种影响。因为我们对于宇宙中的事物不能件件都知道，我们无法确实无误地说出事事将要如何。但是我们能够大概地，具有盖然性地说出来。否则，我们就无从获得知识和科学上的定律了。这个假设如下：
  常常有可能性形成一系列的事物，在这个系列中，根据其中的一二事件，可以推出关于其余各事件的一些事情来。
  最显明的例子是声波和光波这一类的东西。由于这些波的持久性，听觉和视觉能够告诉我们远近有什么事情发生。
  第三个是空－时连续的假设。这个假设主要是否认隔着一段距离会发生作用。这个假设是说，如果两个不邻接的事物之间有一种因果关系，则在这个因果的连锁中必有一些居间的环节。例如，如果Ａ听见了Ｂ说什么，我们认为在Ａ和Ｂ之间必有什么事情发生。但是我不敢说无法把这个假设化为一个重言式，因为物理的空－时完全是推想而知的，而空－时中事件的排列是有赖于因果关系。
  第四个假设我称之为"结构的假设"。这个假设极为重要，效果极大。这个假设是关乎这一类的事情：如，很多人听了一个讲演，或在一个剧场里看见了一个表演，或者，举一个范围更大的例子，大家在天空中都看见一些星星。这个假定的意思如下：
  如果一些结构上相似的复杂的事件围绕着一个中心，布列在离开不远的一些区域中，这些事件往往都属于源于一个在中央的结构相同的事件的因果线。
  空－时结构是很重要的。我最初在《物的分析》里着重指出了这一点。空－时结构能够说明一个复杂的事件如何能和另一个复杂的事件发生因果关系，虽然这两个事件在质的方面绝不相类。这两个事件只需在空－时结构的抽象性质上相似就够了。显而易见，在广播上所用的电磁波引起了听者的感觉，但是除了在结构方面以外，二者并无类似之点。正是因为结构的重要性，所以理论物理学能够在找到有关非经验的事件的公式之后就满足了，这些非经验的事件，除了在结构上，不必和我们经验上的事情有任何相似之点。